PROBLEMS TODAY 02. MATRIX - ម៉ាទ្រីស

លំហាត់

គេឲ្យម៉ាទ្រីស $$ C= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad $$ បំពេញលក្ខខណ្ឌ $ AC=CA$ និង $ BC=CB$ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស $ A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad $ $ B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad $ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាឯកលក្ខណៈភាព $ XC = CX $ ត្រឹមត្រូវចំពោះម៉ាទ្រីស $ X $ ដែលជាម៉ាទ្រីស $ 2\times2 $ ។

ចម្លើយ

ស្រាយបញ្ជាក់ថាឯកលក្ខណៈភាព $ XC=CX $ ត្រឹមត្រូវចំពោះម៉ាទ្រីស $ X $ ដែលជាម៉ាទ្រីស $ 2*2 $ គេឲ្យម៉ាទ្រីស $$ C= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad $$ បំពេញលក្ខខណ្ឌ $ AC=CA$ និង $ BC=CB$ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស $ A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad $ $ B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad $ ។

ចំពោះ $ AC=CA$ $\Longleftrightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad$ $\times$ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad$ $=$ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad $ $ \times $ $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad $ $$\begin{bmatrix} a+c & b+d \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad = \begin{bmatrix} a & a+b \\ c & c+d \\ \end{bmatrix} \quad $$ $$ c=0 និង a=d $$

ចំពោះ $ BC=CB$ $\Longleftrightarrow$ $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad $ $\times$ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad$ $=$ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad $ $\times$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad $$ $$ \begin{bmatrix} a & b \\ a+c & b+d \\ \end{bmatrix} \quad = \begin{bmatrix} a+b & b \\ c+d & d \\ \end{bmatrix} \quad $ $$ b=0 និង a=d $$

ឥឡូវគេបាន $ a=d, b=c=0 $ នោះ $$ \begin{bmatrix} a & b \\ c+d & d \\ \end{bmatrix} \quad =\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = aI $$

នោះចំពោះគ្រប់ម៉ាទ្រីស $ X $ លំដាប់ $ 2\times2 $ គេបាន ៖ $$ XC=X(aI)=a(XI)=aX $$ $$ CX=(aI)X=a(IX)=aX $$

ដូច្នេះ សម្រាយបញ្ជាក់បានបញ្ចប់៕

កម្ពុជា - 19 03 21

លឿ សុវណ្ណរ៉ា