PROBLEMS TODAY 03. PROVE -សម្រាយបញ្ជាក់ \sqrt(6) ជាចំនួនអសនិទាន

លំហាត់

ចូរបង្ហាញថា $\sqrt 6$ គឺជាចំនួនអសនិទាន។

ចម្លើយ

ឧបមាថា $\sqrt 6$ មិនមែនជាចំនួនអសនិទាន នោះ $\sqrt 6$ ជាចំនួនសនិទាន នោះចំពោះគ្រប់ $a, b, \in \mathbb{Z} ,$ $$\sqrt 6 = \frac{a}{b}$$ ដែល $GCD(a,b)=1$ ។

យើងមាន $$\sqrt 6 = \frac{a}{b}$$ $$6 = \frac{a^2}{b^2}$$ $$a^2=6b^2$$ ដូច្នេះ $a^2$ ចែកដាច់នឹង $6$ នាំឲ្យ $a$ ក៏ជាចែកដាច់នឹង $6$ ដែរ យើងតាង $a=6c$ ដែល $c \in \mathbb{Z}$ ។

យក $a=6c$ ជំនួសក្នុង $a^2=6b^2$ យើងបាន $$36c^2=6b^2$$ $$b^2=6c^2$$ នេះនាំឲ្យគេទាញបាន $b^2$ ចែកដាច់នឹង $6$ ហើយក៏នាំឲ្យទាញបាន $b$ ក៏ចែកដាច់នឹង $6$ ដែរ។ ដែលនេះផ្ទុយពីការឧបមា ដែលថា $GCD(a,b)=1$ ។

ដូច្នេះ សម្រាយបញ្ជាក់បានបញ្ចប់។

Problems

Prove thatា $\sqrt 6$ is a irrational number.

Solution

Soppose $\sqrt 6$ is a rational number . Then for all $a, b, \in \mathbb{Z} ,$ $$\sqrt 6 = \frac{a}{b}$$ where $GCD(a,b)=1$ ។

We have $$\sqrt 6 = \frac{a}{b}$$ $$6 = \frac{a^2}{b^2}$$ $$a^2=6b^2$$ So, $a^2$ is divided by $6$ , then $a$ is divided by $6$ too. Now, let $a=6c$ Where $c \in \mathbb{Z}$ ។

Now, we obtain. $$36c^2=6b^2$$ $$b^2=6c^2$$ So, $b^2$ is divided by $6$ and then $b$ is divided by $6$ too. we observe that a and b have at least 6 as a common factor .But this contradicts that “a amd b are co-prime .” It means that our consideration of “$\sqrt 6$ is a rational number” is not true

Therefore, we finsh proving.

កម្ពុជា - 22 03 21

លឿ សុវណ្ណរ៉ា