PROBLEMS TODAY 03. PROVE -សម្រាយបញ្ជាក់ \sqrt(6) ជាចំនួនអសនិទាន

លំហាត់

ចូរបង្ហាញថា $\sqrt 6$ គឺជាចំនួនអសនិទាន។

ចម្លើយ

ឧបមាថា $ \sqrt 6 $ មិនមែនជាចំនួនអសនិទាន នោះ $ \sqrt 6 $ ជាចំនួនសនិទាន នោះចំពោះគ្រប់ $ a, b, \in \mathbb{Z} ,$ $$ \sqrt 6 = \frac{a}{b} $$ ដែល $ GCD(a,b)=1 $ ។

យើងមាន $$ \sqrt 6 = \frac{a}{b} $$ $$ 6 = \frac{a^2}{b^2} $$ $$ a^2=6b^2 $$ ដូច្នេះ $ a^2 $ ចែកដាច់នឹង $ 6 $ នាំឲ្យ $ a $ ក៏ជាចែកដាច់នឹង $ 6 $ ដែរ យើងតាង $ a=6c $ ដែល $ c \in \mathbb{Z} $ ។

យក $ a=6c $ ជំនួសក្នុង $a^2=6b^2$ យើងបាន $$ 36c^2=6b^2 $$ $$ b^2=6c^2 $$ នេះនាំឲ្យគេទាញបាន $ b^2 $ ចែកដាច់នឹង $6$ ហើយក៏នាំឲ្យទាញបាន $ b $ ក៏ចែកដាច់នឹង $6$ ដែរ។ ដែលនេះផ្ទុយពីការឧបមា ដែលថា $ GCD(a,b)=1 $ ។

ដូច្នេះ សម្រាយបញ្ជាក់បានបញ្ចប់។

Problems

Prove thatា $\sqrt 6$ is a irrational number.

Solution

Soppose $ \sqrt 6 $ is a rational number . Then for all $ a, b, \in \mathbb{Z} ,$ $$ \sqrt 6 = \frac{a}{b} $$ where $ GCD(a,b)=1 $ ។

We have $$ \sqrt 6 = \frac{a}{b} $$ $$ 6 = \frac{a^2}{b^2} $$ $$ a^2=6b^2 $$ So, $ a^2 $ is divided by $ 6 $ , then $ a $ is divided by $ 6 $ too. Now, let $ a=6c $ Where $ c \in \mathbb{Z} $ ។

Now, we obtain. $$ 36c^2=6b^2 $$ $$ b^2=6c^2 $$ So, $ b^2 $ is divided by $6$ and then $ b $ is divided by $6$ too. we observe that a and b have at least 6 as a common factor .But this contradicts that “a amd b are co-prime .” It means that our consideration of “$\sqrt 6 $ is a rational number” is not true

Therefore, we finsh proving.

កម្ពុជា - 22 03 21

លឿ សុវណ្ណរ៉ា